カルノーサイクルのエネルギー収支を表でまとめる

工学・物理学
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カルノーサイクルのエネルギー収支を表でまとめながら熱効率を求めてみます。
この記事の続きです。

高校物理 エネルギーは表で収支を考えるとわかりやすい
高校物理のエネルギーに関する問題の解き方についてです。力学的...

次の関係を使います。

\begin{align}
\text{変化の原因になった総量} = \text{変化した分の総量} + \text{変化の間でロスした総量}\label{in-out-loss2}
\end{align}

次のカルノーサイクルの熱効率を求めよ。ただし、$T_1>T_2$ とする。

カルノーサイクル

まずは、$p\,\text{-}\, V$ 線図を見て得られる情報を表に書いていきます。
大事なのは、色を付けたところです。

内部エネルギー変化 $\Delta U$気体が得た熱量
$Q$
気体がされた仕事 $W$
A $\to$ B(断熱変化)$\Delta U_\text{AB}$$0$
($\because$ 断熱変化)
$W_\text{AB}$
B $\to$ C($T_2$ 等温変化)$0$
($\because$ 等温変化)
$Q_\text{BC}$$W_\text{BC}$
C $\to$ D(断熱変化)$\Delta U_\text{CD}$$0$
($\because$ 断熱変化)
$W_\text{CD}$
D $\to$ A($T_1$ 等温変化)$0$
($\because$ 等温変化)
$Q_\text{DA}$$W_\text{DA}$
サイクル1周で変化した総量$\Delta U =0$
($\because$ 1周すると
$\Delta T=0$ )
$Q= Q_\text{BC}+ Q_\text{DA}$

いま、求めたい熱効率 $e$ というのは、次のような量のことです。

\begin{align}
e:=\dfrac{-W}{Q_\text{in}}\,,
\end{align}
ただし、$W$ は熱機関(今回は気体)がした仕事、$Q_\text{in}$ は気体が吸収した熱量のことです。

さて、今考えている問題において、 $W$ と $Q_\text{in}$ とはどのようにして表せる量でしょうか?

表を見ながら考えると、これらの量は次のように表せることがわかると思います。

\begin{align*}
W&=-(W_\text{AB}+W_\text{BC}+W_\text{CD}+W_\text{DA})\,,\\
Q_\text{in}&=(Q_\text{BC} \text{と} Q_\text{DA} \text{のうち正のものの和})\,.
\end{align*}

つまり、熱効率 $e$ を計算するためには、この式の右辺を具体的に計算すればいいわけです。
順番に考えていきましょう。

まず、各過程において気体がされた仕事は、以下のように考えることができます。

1サイクル全体について\eqref{in-out-loss2}より、次が成り立つ。

\begin{align*}
\Delta U = Q + (-W)\,.
\end{align*}

ただし、1サイクル全体で $\Delta U=0$ であることと表の内容から、

\begin{align}
0=(Q_\text{BC}+ Q_\text{DA})+\Curl{-(W_\text{AB}+W_\text{BC}+W_\text{CD}+W_\text{DA})}\,.\label{prob03-1}
\end{align}

A $\to$ BとC $\to$ Dの断熱変化のそれぞれで、\eqref{in-out-loss2}と $\Delta U=0$ を考えると、

\begin{align*}
&\Delta U_\text{AB}=-W_\text{AB}\,,\\
&\Delta U_\text{CD}=-W_\text{CD}\,,\\
&\Delta U_\text{AB}+\Delta U_\text{CD}=0\,.
\end{align*}

この3つの式から、$W_\text{AB}+W_\text{CD}=0$ になるので、\eqref{prob03-1}は改めて次のように書き直せる。

\begin{align*}
& 0=(Q_\text{BC}+ Q_\text{DA})+\Curl{-(W_\text{BC}+W_\text{DA})}\,,\\
&\therefore\,W=W_\text{BC}+W_\text{DA}=Q_\text{BC}+ Q_\text{DA}\label{prob03-2}
\end{align*}

ここで、B $\to$ CとD $\to$ Aの等温変化のそれぞれで、\eqref{in-out-loss2}を考えると、

\begin{align}
&\Delta Q_\text{BC}=W_\text{BC}\,,\\
&\Delta Q_\text{DA}=W_\text{DA}\,.\\\label{q-w}
\end{align}

これ以上は具体的に考えることができないので、仮で物理量を表す文字を導入しましょう。
各状態 $i=\text{A, B, C, D}$ における気体の圧力と体積を、それぞれ $p_i\,,V_i$ と表すことにします。

すると、B $\to$ CとD $\to$ Aの等温過程において気体がした仕事は、それぞれ次のように計算できます。(この導出については熱力学の書籍などを見てください。あと、定数は適当に $k$ としました。)

\begin{align*}
&W_\text{BC}=kT_2 \dfrac{V_\text{C}}{V_\text{B}}<0\,,\\
&W_\text{DA}=kT_1 \dfrac{V_\text{A}}{V_\text{D}}>0\,.
\end{align*}

これで気体がした仕事の正負がわかったので、\eqref{q-w}と合わせれば気体が得た熱量の正負もわかり、ゆえに気体が吸収した熱量 $Q_\text{in}$ が求められます。

以上の内容を改めて表にまとめ直すと、次のようになります。

内部エネルギー変化 $\Delta U$気体が得た熱量
$Q$
気体がされた仕事 $W$
A $\to$ B(断熱変化)増加 $\Delta U_\text{AB}>0$$0$$W_\text{AB}$
B $\to$ C($T_2$ 等温変化)$0$放出 $Q_\text{BC}<0$$W_\text{BC}<0$
C $\to$ D(断熱変化)減少 $\Delta U_\text{CD}<0$$0$$W_\text{CD}$
D $\to$ A($T_1$ 等温変化)$0$吸収 $Q_\text{DA}>0$$W_\text{DA}>0$
変化した総量
(サイクル1周における)
$\Delta U =0$
($\because$ 1周すると
$\Delta T=0$ )
$Q= Q_\text{BC}+ Q_\text{DA}$$W= W_\text{BC}+ W_\text{DA}=Q$

上の表で色を付けた部分だけが、求めたい熱効率 $e$ に関わっています。
したがって、

\begin{align}
e:=\dfrac{W}{Q_\text{in}}=\dfrac{Q_\text{BC}+ Q_\text{DA}}{Q_\text{DA}}=1+\dfrac{Q_\text{BC}}{Q_\text{DA}}<1\,,
\end{align}

本当は、断熱過程で成り立つ圧力と体積の関係式などを考慮すれば、熱効率 $e$ は温度 $T_1\,,T_2$ のみで表せます。
今回は長くなってしまったので省略します。

この問題で私が伝えたかったことは、「問題文と表だけでも多くの情報を引き出せる」ということと、「全てを式から導出しようとすると長くなる」ということです。
今回は物理的な性質を無視して、\eqref{in-out-loss2}の「入力=出力+ロス」の関係のみを使用して変化量の符号なども機械的に求めようとしました。
しかし、実際は「D $\to$ Aは等温膨張だから熱を吸収する過程である」ことに気づけば、答えに至るまでの過程をもっと省略することができますし、物理の授業ではそのように教えていると思います。

考える時に役に立つのが図やイメージだということが最も伝えたかったことです。

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